正弦（sine）是三角函数中的一种，通常表示为sin。它表示一个角在直角三角形中与对边和斜边的比值。在单位圆中，正弦值也可以表示为圆上相应点的y坐标。
直角三角形法
对于一个直角三角形，假设角A是一个锐角，那么正弦值sin(A)可以表示为：
$$\sin(A) = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$$
其中，对边是与角A相对的边，斜边是直角三角形的最长边（直角对面的边）。
单位圆法
在单位圆中，任意角α的正弦值可以通过单位圆上相应点的y坐标来求得。假设点P(x, y)在单位圆上，且∠APB=α，那么：
$$\sin(\alpha) = y$$
一般公式
对于任意角度θ，正弦函数的通用公式是：
$$\sin(\theta) = \frac{e^{j\theta} - e^{-j\theta}}{2j}$$
其中，$e$是自然对数的底数（约等于2.71828），$j$是虚数单位（$j^2 = -1$）。
这个公式可以通过欧拉公式推导得到：
$$e^{j\theta} = \cos(\theta) + j\sin(\theta)$$ $$e^{-j\theta} = \cos(\theta) - j\sin(\theta)$$
将这两个公式相减，并除以$2j$，就可以得到：
$$\sin(\theta) = \frac{e^{j\theta} - e^{-j\theta}}{2j}$$
例子
假设我们要计算45度角（即$\frac{\pi}{4}$弧度）的正弦值：
使用单位圆法：
在单位圆上，45度角对应的点是$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$，所以：
$$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
使用一般公式：
$$\sin(45^\circ) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{e^{j\pi/4} - e^{-j\pi/4}}{2j}$$
计算得到：
$$\sin(45^\circ) = \frac{\cos(\pi/4) + j\sin(\pi/4)}{2j} - \frac{\cos(\pi/4) - j\sin(\pi/4)}{2j}$$ $$= \frac{e^{j\pi/4} - e^{-j\pi/4}}{2j}$$ $$= \frac{\cos(\pi/4) + j\sin(\pi/4) - \cos(\pi/4) + j\sin(\pi/4)}{2j}$$ $$= \frac{2j\sin(\pi/4)}{2j}$$ $$= \sin(\pi/4)$$ $$= \frac{\sqrt{2}}{2}$$
所以，无论使用哪种方法，$\sin(45^\circ)$的值都是$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
