黑塔题（Black Tower Problem）是一个涉及递归和动态规划的数学问题。它起源于数论领域，通常用于研究整数分解和素数分布等问题。

问题描述

给定一个正整数 ( n )，将其表示为若干个素数的乘积的形式，即 ( n = p_1^{e_1} \times p_2^{e_2} \times \cdots \times p_k^{e_k} )，其中 ( p_i ) 是素数，( e_i ) 是正整数。这个表示称为 ( n ) 的素数分解。

黑塔题的目标是找到一种方法，使得通过递归地移除最小的素数因子，可以逐步减少 ( n ) 的大小，直到 ( n ) 变为 1。

解决方法

黑塔题可以通过动态规划来解决。定义一个数组 ( dp )，其中 ( dp[i] ) 表示数字 ( i ) 的最小素数因子分解所需的步骤数。

状态转移方程

对于每个 ( i )，如果 ( i ) 是素数，则 ( dp[i] = i )，因为最小的素数因子就是它本身。

对于每个合数 ( i )，找到它的最小素数因子 ( p )，然后递归地计算 ( dp[i/p] )，并加上 1（因为我们需要移除这个因子）。

初始化

( dp[1] = 0 )，因为 1 没有素数因子。

代码实现

```python def min_prime_factors(n): dp = [0] * (n + 1) for i in range(2, n + 1): if is_prime(i): dp[i] = i else: p = 2 while i % p == 0: dp[i] = min(dp[i], dp[i // p] + 1) p += 1 return dp[n]

def is_prime(num): if num <= 1: return False for i in range(2, int(num0.5) + 1): if num % i == 0: return False return True ```

示例

假设我们要计算 ( n = 12 ) 的最小素数因子分解所需的步骤数：

  1. ( dp[1] = 0 )
  2. ( dp[2] = 2 )（2 是素数）
  3. ( dp[3] = 3 )（3 是素数）
  4. ( dp[4] = 2 )（2 是素数）
  5. ( dp[5] = 5 )（5 是素数）
  6. ( dp[6] = 3 )（2 和 3 是素数）
  7. ( dp[7] = 7 )（7 是素数）
  8. ( dp[8] = 3 )（2 是素数）
  9. ( dp[9] = 3 )（3 是素数）
  10. ( dp[10] = 4 )（2 和 5 是素数）
  11. ( dp[11] = 11 )（11 是素数）
  12. ( dp[12] = 4 )（2 和 3 是素数）

**，( dp[12] = 4 )，表示将 12 分解为素数的最小步骤数是 4。

黑塔题是一个经典的递归和动态规划问题，通过逐步移除最小的素数因子，可以有效地解决整数分解和素数分布等问题。