数学中有许多复杂公式，这些公式通常出现在高级数学理论、物理、工程和其他科学领域中。以下是一些著名的复杂公式：

  1. 费马大定理（Fermat’s Last Theorem）：

$\(a^n + b^n = c^n\)$

当整数 \(n > 2\) 时，不存在整数 \(a, b, c\) 使得上述等式成立。

  1. 勾股定理（Pythagorean Theorem）：

$\(a^2 + b^2 = c^2\)$

在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

  1. 欧拉公式（Euler’s Formula）：

$\(e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)\)$

其中 \(e\) 是自然对数的底数，\(i\) 是虚数单位。

  1. 黎曼ζ函数（Riemann Zeta Function）：

$\(\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}\)$

定义在复平面上，\(s\) 是实数且 \(s > 1\)。

  1. 斯特林公式（Stirling’s Formula）：

$\(n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n\)$

用于近似计算大数的阶乘。

  1. 高斯积分（Gaussian Integral）：

$\(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}\)$

这是一个经典的积分，与概率论和统计学密切相关。

  1. 傅里叶变换（Fourier Transform）：

$\(\mathcal{F}\{f(t)\} = F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} \, dt\)$

将一个函数从时域转换到频域。

  1. 拉普拉斯变换（Laplace Transform）：

$\(\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} \, dt\)$

另一种积分变换，常用于解决微分方程。

  1. 贝叶斯公式（Bayes’ Theorem）：

$\(P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}\)$

描述了在给定某些其他条件下，事件A发生的概率。

  1. 素数定理（Prime Number Theorem）：

    \[\pi(x) \sim \frac{x}{\log(x)}\]

    描述了素数在自然数中的分布情况。

这些公式只是数学中无数复杂公式的一小部分。每个公式都有其特定的应用背景和意义，在数学研究和相关领域中发挥着重要作用。